Sebelum melangkah lebih jauh mari kita fahamii terlebih dahulu tentang filsafat matematika. Kata falsafah atau filsafat dalam bahasa Indonesia merupakan kata serapan dari bahasa Arab فلسفة, yang juga diambil dari bahasa Yunani; Φιλοσοφία philosophia.Dalam bahasa ini, kata ini merupakan kata majemuk dan berasal dari kata-kata (philia= persahabatan, cinta dsb.) dan (sophia = "kebijaksanaan").Sehingga arti harafiahnya adalah seorang “pencinta kebijaksanaan”. Kata filosofi yang dipungut dari bahasa Belanda juga dikenal di Indonesia.Bentuk terakhir ini lebih mirip dengan aslinya. Dalam bahasa Indonesiaseseorang yang mendalami bidang falsafah disebut "filsuf".
Jadi, filsafat adalah pandanganhidup seseorang atau sekelompok orang yang merupakan konsep dasar mcngenaikehidupan yang dicita-citakan. Filsafat juga diartikan sebagai suatu sikapseseorang yang sadar dan dewasa dalam memikirkan segala sesuatu secara mendalamdan ingin melihat dari segi yang luas dan menyeluruh dengan segala hubungan.
Salah satu tujuan dari filsafatadalah menemukan pemahaman dan tindakan yang sesuai. filsafat erat kaitannyadengan ilmu. karena bagaimana pun, tujuan dipelajari ilmu adalah untuk dapatdipahami kemudian direalisasikan ke dalam kehidupan yang nyata. tanpapemahaman, ilmu tidak akan mungkin dapat dikuasai.
1. Filsafat Matematika
Filsafat matematika adalahsegenap pemikiran reflektif terhadap persoalan-persoalan mengenai segala halyang menyangkut landasan matematika serta hubungan matematika dengan segalasegi dari kehidupan manusia. Landasan itu mencakup berbagai konsep pamgkal,anggapan dasar, asa permulaan, struktur teoritis, dan ukuran kebenaran.
Sampai sekarang para filsuf dan ahli matematika masih mencoba merumuskan apasesungguhnya matematika itu. Banyak definisi matematika telah dikemukakan,namun banyak pula sanggahannya.
Filsafat matematika adalahcabang dari filsafat yang mengkaji anggapan-anggapanfilsafat, dasar-dasar, dan dampak-dampak matematika. Tujuan dari filsafat matematikaadalah untuk memberikan rekaman sifat dan metodologi matematika dan untukmemahami kedudukan matematika di dalam kehidupan manusia. Sifat logis danterstruktur dari matematika itu sendiri membuat pengkajian ini meluas dan unikdi antara mitra-mitra bahasan filsafat lainnya.
Tema-tema yang sering diperbincangkan di antaranya:
- Apakah sumber pokok bahasan matematika?
- Apakah status ontologis dari entitas-entitas matematika?
- Apakah yang dimaksud dengan objek matematika?
- Apakah sifat/karakter dari proposisi matematika?
- Apakah kaitan antara logika dan matematika?
- Apakah peran hermeneutika di dalam matematika?
- Jenis penyelidikan apakah yang memainkan peran penting di dalam matematika?
- Apakah tujuan dari penyelidikan matematika?
- Apakah yang memberi pertautan antara matematika dan pengalaman?
- Sifat manusia apakah yang berada di sebalik matematika?
- Apakah yang dimaksud dengan keindahan matematika?
- Apakah sumber dan sifat kebenaran matematika?
- Apakah hubungan antara dunia matematika abstrak dan semesta materi?
- Apakah matematika suatu bahasa yang mutlak dan universal?
Filsafatmatematika mempunyai tujuan untuk menjelaskan dan menjawab tentang kedudukandan dasar dari obyek dan metode matematika yaitu menjelaskan apakah secaraontologism obyek matematika itu ada, dan menjelaskan secara epistemologisapakah semua pernyataan matematika mempunyai tujuan dan menentukan suatukebenaran. Mengingat bahwa hukum-hukum alam dan hukum-hukum matematikamempunyai kesamaan status, maka obyek-obyek pada dunia nyata mungkin dapatmenjadi pondasi matematika. Tetapi ini masih menjadi pertanyaan besar untukdijawab.
Walaupun beberapa pemikir pada filsafat moderndari matematika menolak bagi keberadaan pondasi di dalam matematika, namunbebarapa filsuf masih tetap menaruh perhatian kepada kegiatan kognisi manusiasebagai basis bagi diletakkannya fondamen matematika. Mereka mencoba meletakkandasar matematika pada kegiatan kognisi manusia, seperti yang dilakukan ImmanuelKant, bukan pada obyek di luar matematika.
Filsuf matematikayang dikenalkan di sini adalah Pythagoras, Plato, Aristoteles, Leibniz, danKant. Doktrin Pythagoras antara lain bahwa fenomena yang tampak berbeda dapatmemiliki representasi matematis yang identik (cahaya, magnet, listrik – sebagaigetaran – dapat memiliki persamaan diferensial yang sama). Aristotelesmenekankan, menemukan ‘dunia permanen’ merupakan realita daripada ‘apa yangtampak’. Aristoteles lebih menekankan pada ‘absraksi’ daripada ‘apa yangtampak’. Leibniz dan Kant menekankan pada proposisi matematis.
2. Sejarah Matematika
Matematika adalahalat yang dapat membantu memecahkan berbagai permasalahan (dalam pemerintahan,industri, sains). Sejarah matematika adalah penyelidikan terhadap asalmula penemuan di dalam matematika dansedikit perluasannya, penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika dimasa silam. Dalam perjalanan sejarahnya, matematika berperan membangunperadaban manusia sepanjang masa.
Metode yangdigunakan adalah eksperimen atau penalaran induktif dan penalaran deduktif.Penalaran induktif adalah penarikan kesimpulan setelah melihat kasus-kasus yangkhusus. Kesimpulan penalaran induktif memiliki derajat kebenaran barangkalibenar atau tidak perlu benar.
Sebelum zaman modern danpenyebaran ilmu pengetahuan ke seluruh dunia, contoh-contoh tertulis daripengembangan matematika telah mengalami kemilau hanya di beberapa tempat.Tulisan matematika terkuno yang telah ditemukan adalah Plimpton322 (matematikaBabilonia sekitar 1900 SM), Lembaran Matematika Rhind (MatematikaMesir sekitar 2000-1800 SM) dan Lembaran Matematika Moskwa (matematika Mesir sekitar 1890 SM). Semua tulisan itu membahas teorema yang umumdikenal sebagai teorema Pythagoras,yang tampaknya menjadi pengembangan matematika tertua dan paling tersebar luassetelah aritmetika dasar dan geometri.
Sumbangan matematikawanYunani memurnikan metode-metode (khususnya melalui pengenalanpenalaran deduktif dan kekakuan matematikadi dalam pembuktian matematika) dan perluasan pokok bahasan matematika. Kata"matematika" itu sendiri diturunkan dari kata Yunani kuno, μάθημα(mathema), yang berarti "mata pelajaran". MatematikaCina membuat sumbangan dini, termasuk notasiposisional. Sistem bilangan Hindu-Arab dan aturanpenggunaan operasinya, digunakan hingga kini, mungkin dikembangakan melaluikuliah pada milenium pertama Masehi di dalam matematika India dan telah diteruskan ke Barat melalui matematika Islam. Matematika Islam, pada gilirannya, mengembangkan dan memperluas pengetahuanmatematika ke peradaban ini. Banyak naskah berbahasa Yunani dan Arab tentangmatematika kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, yang mengarah padapengembangan matematika lebih jauh lagi di Zaman Pertengahan Eropa.
Dari zaman kuno melalui ZamanPertengahan, ledakan kreativitas matematika seringkali diikuti oleh abad-abadkemandekan. Bermula pada abad Renaisans Italia pada abad ke-16, pengembanganmatematika baru, berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru, dibuat pada pertumbuhan eksponensial yang berlanjut hingga kini.
A. Secara Geografis
1. Mesopotamia
- Menentukan system bilangan pertama kali
- Menemukan system berat dan ukur
- Tahun 2500 SM system desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi berbentukbaji
2. Babilonia
- Menggunakan sitem desimal dan π=3,125
- Penemu kalkulator pertama kali
- Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi
- Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat
- Geometrinya bersifat aljabaris
- Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang berkembang
- Sudah mengenal teorema Pythagoras
3. Mesir Kuno
- Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi
- Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM
- Mengenal tripel Pythagoras
- Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika
- Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10
4. Yunani Kuno
- Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik)
- Pencetus awal konsep[ nol adalah Al Khwarizmi
- Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan kerucut
- Hipassus penemu bilangan irrasional
- Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang isinyamerupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah persamaan)
- Archimedes membuat geometri bidang datar
- Mengenal bilangan prima
5. India
- Brahmagyupta lahir pada 598-660 Ad
- Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran
- Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal
- Brahmagyupta menemukan bilangan negatif
- Rumus a2+b2+c2 telah ada pada “Sulbasutra”
- Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema Pythagoras,transformasidan segitiga pascal
6. China
- Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM
- Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system biner,aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus
- Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan yaitupersamaan kuadrat, kubikdan qualitik
- Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
B. Berdasarkan Tokoh
1. Thales (624-550 SM)
Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau proposisi,dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmuterapan rupanya sudah diletakan oleh Thales sebelum muncul Pythagoras yangmembuat bilangan.
2. Pythagoras (582-496 SM)
Pythagoras adalah orang yang pertama kali mencetuskan aksioma-aksioma,postulat-postulat yang perlu dijabarkan ter lebih dahulu dalam mengembangkangeometri. Pythagoras bukan orang yang menemukan suatu teorema Pythagoras namundia berhasil membuat pembuktian matematis. 2 sebagai bilangan irrasional.ÖPersaudaraanPythagoras menemukan
3. Socrates (427-347 SM)
Ia merupakan seorang filosofi besar dari Yunani. Dia juga menjadi pencipta ajaranserba cita, karena itu filosofinya dinamakan idealisme. Ajarannya lahir karenapergaulannya dengan kaum sofis. Plato merupakan ahli piker pertama yangmenerima paham adanya alam bukan benda.
4. Ecluides (325-265 SM)
Euklides disebut sebagai “Bapak Geometri” karena menemuka teori bilangan dangeometri. Subyek-subyek yang dibahas adalah bentuk-bentuk, teorema Pythagoras,persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen,geometri ruang, teori proporsi danlain-lain. Alat-alat temuan Eukluides antara lain mistar dan jangka.
5. Archimedes (287-212 SM)
Dia mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Dan juga menemukanperhitungan π (pi) dalam menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli matematikaterbesar sepanjang zaman dan di zaman kuno. Tiga kaaarya Archimedes membahasgeometri bidang datar, yaitu pengukuran lingkaran, kuadratur dari parabola danspiral.
6. Appolonius (262-190 SM)
Konsepnya mengenai parabola, hiperbola, dan elips banyak memberi sumbangan bagiastronomi modern. Ia merupakan seorang matematikawan tang ahli dalam geometri.Teorema Appolonius menghubungkan beberapa unsur dalam segitiga.
7. Diophantus (250-200 SM)
Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan konsep-konsepaljabar Babilonia. Seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria.Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku karangan pertama tentangsystem aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika Diophantus berisipemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan persamaan-persamaan tingkatpertama.
4. Hubungan antara Filsafat dan Sejarah Matematika
Matematika dan filsafat memilikihubungan yang cukup erat, dibandingkan ilmu2 lainnya. alasannya, filsafatmerupakan pangkal untuk mempelajari ilmu dan matematika adalah ibu dari segalailmu. ada juga yang beranggapan bahwa filsafat dan matematika adalah ibu darisegala ilmu yang ada. hubungan lainnya dari matematika dan filsafat karenakedua hal ini adalah apriori dan tidak eksperimentalis. hasil dari keduanyatidak memerlukan bukti secara fisik.
Di Indonesia sendiri pengamalanfilsafat dalam ilmu, khususnya matematika, masih sangat amat jarang, bahkantidak ada. terlebih lagi setelah menjamurnya pusat bimbingan belajar yangmengajarkan rumus2 praktis tanpa menyodorkan dasar pemahaman yang cukupmemadai. akhirnya ilmu hanya dipandang sebagai sesuatu yang pragmatis.
Matematika danfilsafat mempunyai sejarah keterikatan satu dengan yang lain sejak jaman YunaniKuno. Matematika di samping merupakan sumber dan inspirasi bagi para filsuf,metodenya juga banyak diadopsi untuk mendeskripsikan pemikiran filsafat. Kitabahkan mengenal beberapa matematikawan yang sekaligus sebagai sorang filsuf,misalnya Descartes, Leibniz, Bolzano, Dedekind, Frege, Brouwer, Hilbert,G¨odel, and Weyl. Pada abad terakhir di mana logika yang merupakan kajiansekaligus pondasi matematika menjadi bahan kajian penting baik oleh paramatematikawan maupun oleh para filsuf. Logika matematika mempunyai perananhingga sampai era filsafat kontemporer di mana banyak para filsuf kemudianmempelajari logika. Logika matematika telah memberi inspirasi kepada pemikiranfilsuf, kemudian para filsuf juga berusaha mengembangkan pemikiran logikamisalnya “logika modal”, yang kemudian dikembangkan lagi oleh paramatematikawan dan bermanfaat bagi pengembangan program komputer dan analisisbahasa. Salah satu titik krusial yang menjadi masalah bersama oleh matematikamaupun filsafat misalnya persoalan pondasi matematika.
Baik matematikawanmaupun para filsuf bersama-sama berkepentingan untuk menelaah apakah adapondasi matematika? Jika ada apakah pondasi itu bersifat tunggal atau jamak?Jika bersifat tunggal maka apakah pondasi itu? Jika bersifat jamak makabagaimana kita tahu bahwa satu atau beberapa diantaranya lebih utama atau tidaklebih utama sebagai pondasi? Pada abad 20, Cantor diteruskan oleh Sir BertrandRussell, mengembangkan teori himpunan dan teori tipe, dengan maksud untukmenggunakannya sebagai pondasi matematika. Namun kajian filsafat telahmendapatkan bahwa di sini terdapat paradoks atau inkonsistensi yang kemudianmembangkitkan kembali motivasi matematikawan di dalam menemukan hakekat darisistem matematika.
Dengan teoriketidak-lengkapan, akhirnya Godel menyimpulkan bahwa suatu sistem matematikajika dia lengkap maka pastilah tidak akan konsisten; tetapi jika dia konsistenmaka dia patilah tidak akan lengkap. Hakekat dari kebenaran secara bersamadipelajari secara intensif baik oleh filsafat maupun matematika. Kajian nilaikebenaran secara intensif dipelajari oleh bidang epistemologi dan filsafatbahasa.
Paramatematikawan dan para filsuf secara bersama-sama masih terlibat di dalamperdebatan mengenai peran intuisi di dalam pemahaman matematika dan pemahamanilmu pada umumnya.
Banyak filsuftelah menggunakan matematika untuk membangun teori pengetahuan dan penalaranyang dihasilkan dengan memanfaatkan bukti-bukti matematika dianggap telah dapatmenghasilkan suatu pencapaian yang memuaskan. Matematika telah menjadi sumberinspirasi yang utama bagi para filsuf untuk mengembangkan epistemologi danmetafisik.
Hannes Leitgeb di(Antonelli, A., Urquhart, A., dan Zach, R. 2007) di “Mathematical Methods inPhilosophy” telah menyelidiki penggunaan matematika di filsafat. Diamenyimpulkan bahwa metode matematika mempunyai kedudukan penting di filsafat.Pada taraf tertentu matematika dan filsafat mempunyai persoalan-persoalanbersama.
Hannes Leitgeb telah menyelidikiaspek-aspek dalam mana matematika dan filsafat mempunyai derajat yang samaketika melakukan penelaahan yatitu kesamaan antara obyek, sifat-sifat obyek,logika, sistem-sistem, makna kalimat, hukum sebab-akibat, paradoks, teoripermainan dan teori kemungkinan. Para filsufmenggunakan logika sebab-akibat untuk untuk mengetahui implikasi dari konsepatau pemikirannya, bahkan untuk membuktikan kebenaran ungkapan-ungkapannya.Joseph N. Manago (2006) di dalam bukunya “ Mathematical Logic and thePhilosophy of God and Man” mendemonstrasikan filsafat menggunakan metodematematika untuk membuktikan Lemma bahwa terdapat beberapa makhluk hidupbersifat “eternal”. Makhluk hidup yang tetap hidup disebut bersifat eternal.
5. Periode Matematika
Ada dua macam pembagian mengikuti waktu atauperiode perkembangan. Yang pertama, pembagian waktu ke dalam tiga periode,yakni, “dahulu”, “pertengahan”, dan “sekarang”. Pembagian ini berdasarkanpertumbuhan matematika sendiri dan daya tahan hidup sesuai zamannya. Yangkedua, pembagian menurut cara konvensional dalam tujuh skala waktu menurutpenemuan naskah yang dapat dihimpun, yakni (1) Babilonia dan Mesir Kuno, (2)Kejayaan Yunani (600 SM – 300), (3) Masyarakat Timur dekat (sebagian sebelumdan sebagian lagi sesudah (2)), (4) Eropa dan masa Renaissance, (5) Abad ke-17,(6) Abad ke-18 dan 19, dan (7) Abad ke-20. Pembagian ini mengikuti perkembangankebudayaan Eropa.
Setiap periode, baik yang membagimenjadi 3 atau pun 7, memiliki ciri khas yang umum. Pada periode “dahulu”, cirikhasnya adalah empiris, mendasarkan pada pengalaman (indera) hidup manusia.Periode “pertengahan” mulai dengan analisis (Descartes, Newton, Leibniz, Galileo), sedangkan padaperiode “sekarang” ciri khasnya adalah metode abstraksi dan generalisasi.Ternyata perkembangan matematika dilihat dari kualitas dan kekuatannya jauhlebih penting daripada dilihat secara kuantitas. Ingatlah akan definisimatematika yang mengatakan “matematika adalah cara berpikir dan bernalar”,lihat Modul 1. Sedang kekuatannya, misalnya, lihatlah geometri Euclid dibandingdengan geometri non-euclid, yang terakhir ini mampu menyelesaikan masalah lebihrumit (geometri non-euclid digunakan dalam mengembangkan teori relativitasdalam ilmu fisika)
Perkembangan Matematika SesudahRenaissance
Masing-masing dari 7 periodeterdapat peningkatan kematangan yang signifikan, namun juga terdapatketerbatasannya. Pada periode Yunani, matematika masih bersifat empiris. Padaabad ke-17, kekurangan itu diperbaiki dengan munculnya geometri analitik,proyektif, dan diferensial pada abad berikutnya. Revitalisasi diperlukan agarpertumbuhan matematika makin berkembang dan dapat digunakan dalam ilmu lainnya.Yang terakhir muncul geometri baru (non-euclid) dan menyingkirkan geometrieuclid (lama).
Dalam periode terakhir, daerahjelajah matematika makin luas. Beberapa cabang menjadi terlepas dari induknyadan menjadi otonom. Beberapa di antaranya diserap dalam wadah yang lebih besar,misalnya analisis telah menggeneralisasi geometri. Pelarian dan penangkapankembali ini mengilhami para matematikawan untuk merangkum kembali seluruhmatematika. Awal abad ke-20 dipercayai unifikasi akan dicapai melalui logikamatematis (Bertrand Russell). Ternyata harapan ini sia-sia dan terlepas.
Matematika danfilsafat mempunyai sejarah keterikatan satu dengan yang lain sejak jaman YunaniKuno. Matematika di samping merupakan sumber dan inspirasi bagi para filsuf,metodenya juga banyak diadopsi untuk mendeskripsikan pemikiran filsafat. Kitabahkan mengenal beberapa matematikawan yang sekaligus sebagai sorang filsuf,misalnya Descartes, Leibniz, Bolzano, Dedekind, Frege, Brouwer, Hilbert,G¨odel, and Weyl. Pada abad terakhir di mana logika yang merupakan kajian sekaliguspondasi matematika menjadi bahan kajian penting baik oleh para matematikawanmaupun oleh para filsuf. Logika matematika mempunyai peranan hingga sampai erafilsafat kontemporer di mana banyak para filsuf kemudian mempelajari logika.Logika matematika telah memberi inspirasi kepada pemikiran filsuf, kemudianpara filsuf juga berusaha mengembangkan pemikiran logika misalnya “logikamodal”, yang kemudian dikembangkan lagi oleh para matematikawan dan bermanfaatbagi pengembangan program komputer dan analisis bahasa. Salah satu titikkrusial yang menjadi masalah bersama oleh matematika maupun filsafat misalnyapersoalan pondasi matematika.